Capítulo 1 · Estadísticos de orden

Inferencia estadística · Ejercicios del parcial 1

Capítulo 1 · Estadísticos de orden

Cada ejercicio se resuelve paso a paso. Avanza con →, vuelve aquí con la tecla I, y pasa el cursor sobre los símbolos para ver qué significan.

Ejercicio 1

Sea \(\D{Xi}{X_1, X_2, X_3, X_4}\) una muestra aleatoria de una distribución \(\D{unif}{\text{Uniforme}[0,1]}\). Defina la variable aleatoria \(\D{Z}{Z} = \D{x3}{X_{(3)}} - \D{x2}{X_{(2)}}\). Calcule \(\D{P}{P}\bigl(\D{Z}{Z} \lt \tfrac15\bigr)\).

Idea. Primero hallamos la densidad de \(Z\), y después la integramos de \(0\) a \(\tfrac15\). Para eso seguimos cuatro pasos:

  1. Escribir la densidad conjunta de \(\D{x2}{X_{(2)}}\) y \(\D{x3}{X_{(3)}}\).
  2. Cambiar de variables para que \(\D{Z}{Z}\) sea una de ellas.
  3. Integrar la otra variable para quedarnos con la densidad de \(\D{Z}{Z}\).
  4. Integrar esa densidad de \(0\) a \(\tfrac15\).

Antes de empezar

Lo que sabemos de la muestra

Cada observación es Uniforme en \([0,1]\), así que su densidad y su función de distribución son muy simples:

\[\D{f}{f(x)} = 1, \qquad \D{F}{F(x)} = x, \qquad 0 \le x \le 1, \qquad \D{n}{n} = 4\]

Al ordenar la muestra de menor a mayor obtenemos los estadísticos de orden:

\[\D{x1}{X_{(1)}} \lt \D{x2}{X_{(2)}} \lt \D{x3}{X_{(3)}} \lt \D{x4}{X_{(4)}}\]

\(Z = X_{(3)} - X_{(2)}\) es la distancia entre el segundo y el tercer valor. Como todos los valores están en \([0,1]\), \(Z\) también toma valores entre \(0\) y \(1\).

Paso 1 · La herramienta

Densidad conjunta de dos estadísticos de orden

Teorema 3

Sea \(\D{Xi}{X_1, X_2, \dots, X_n}\) una muestra aleatoria de una distribución continua con p.d.f. \(\D{f}{f_X(x)}\) y c.d.f. \(\D{F}{F_X(x)}\). La p.d.f. conjunta de \(X_{(i)}\) y \(X_{(j)}\), con \(\D{i}{i} \lt \D{j}{j}\), está dada por

\[\begin{aligned}\D{fuv}{f_{X_{(i)},X_{(j)}}(u,v)} &= \D{coef}{\frac{n!}{(i-1)!\,(j-i-1)!\,(n-j)!}}\;\D{f}{f_X(u)}\,\D{f}{f_X(v)} \\ &\quad\cdot\ \D{below}{[F_X(u)]^{\,i-1}}\;\D{between}{[F_X(v)-F_X(u)]^{\,j-i-1}}\;\D{above}{[1-F_X(v)]^{\,n-j}}\end{aligned}\]

para \(-\infty \lt \D{u}{u} \lt \D{v}{v} \lt \infty\).

Paso 1 · Aplicar el Teorema 3

Nuestro caso: \(i = 2,\ j = 3,\ n = 4\)

Aplicamos el Teorema 3 con \(F_X(x) = x\) y \(f_X(x) = 1\). Hay una observación debajo de \(u\), ninguna entre \(u\) y \(v\), y una encima de \(v\).

El coeficiente:

\[\D{coef}{\frac{4!}{1!\,0!\,1!}} = \D{fact}{\frac{24}{1\cdot1\cdot1}} = 24\]

Cada factor queda:

\[\D{fuv}{f(u,v)} = 24\cdot \D{below}{u^{1}}\cdot \D{between}{(v-u)^{0}}\cdot \D{above}{(1-v)^{1}}\cdot \D{f}{1}\cdot \D{f}{1}\]

Como \((v-u)^0 = 1\), la densidad conjunta de \(X_{(2)}\) y \(X_{(3)}\) es:

\[\D{fuv}{f(u,v)} = 24\,\D{u}{u}\,(1-\D{v}{v}), \qquad 0 \lt u \lt v \lt 1\]

Paso 2 · Hacer aparecer Z

Cambio de variable

Teorema (cambio de variable)

Sea \((U,V)\) un vector aleatorio con densidad \(f_{U,V}\) y sea \((W,Z) = g(U,V)\), con \(g\) biyectiva sobre el soporte y con inversa \(u = h_1(w,z)\), \(v = h_2(w,z)\) de derivadas continuas. Entonces

\[\D{fwz}{f_{W,Z}(w,z)} = f_{U,V}\bigl(h_1(w,z),\,h_2(w,z)\bigr)\,\D{J}{|J|}, \qquad \D{J}{J} = \det\begin{pmatrix} \partial h_1/\partial w & \partial h_1/\partial z \\ \partial h_2/\partial w & \partial h_2/\partial z \end{pmatrix}\]

Aplicamos el teorema con \((U,V) = (X_{(2)}, X_{(3)})\) y las variables nuevas

\[\D{w}{W} = \D{x2}{X_{(2)}}, \quad \D{Z}{Z} = \D{x3}{X_{(3)}} - \D{x2}{X_{(2)}} \qquad\Longrightarrow\qquad \D{u}{u} = \D{w}{w}, \quad \D{v}{v} = \D{w}{w} + \D{Z}{z}\]
\[\D{J}{J} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad \D{fwz}{f_{W,Z}(w,z)} = \D{fuv}{f(w,\,w+z)}\cdot 1 = 24\,w\,\bigl(1-(w+z)\bigr)\]

Falta saber en qué región de \((w,z)\) vale esta fórmula. Lo vemos en la siguiente diapositiva.

Paso 2 · La nueva región

¿Dónde vive \((W, Z)\)?

La densidad \(f(u,v)\) solo es positiva cuando \(0 \lt u \lt v \lt 1\). Esa cadena son tres desigualdades. En cada una sustituimos \(u = w\) y \(v = w + z\):

\[0 \lt \D{u}{u} \quad\Longrightarrow\quad 0 \lt \D{w}{w}\]
\[\D{u}{u} \lt \D{v}{v} \quad\Longrightarrow\quad \D{w}{w} \lt \D{w}{w} + \D{Z}{z} \quad\Longrightarrow\quad 0 \lt \D{Z}{z}\]
\[\D{v}{v} \lt 1 \quad\Longrightarrow\quad \D{w}{w} + \D{Z}{z} \lt 1\]

También vale al revés: si \(w \gt 0\), \(z \gt 0\) y \(w + z \lt 1\), entonces \(u = w\) y \(v = w + z\) cumplen \(0 \lt u \lt v \lt 1\). Las dos regiones se corresponden exactamente.

La región nueva es el triángulo con vértices \((0,0)\), \((1,0)\) y \((0,1)\). Para un \(z\) fijo, \(w\) va de \(0\) a \(1 - z\); esto lo usamos en el paso 3.

\[\D{fwz}{f_{W,Z}(w,z)} = 24\,\D{w}{w}\,(1-\D{w}{w}-\D{Z}{z}), \qquad w \gt 0,\ z \gt 0,\ w + z \lt 1\]

Paso 3 · Eliminar w

La densidad de \(Z\)

Para obtener la densidad marginal de \(Z\), integramos sobre todos los valores posibles de \(w\). Con \(z\) fijo, \(w\) va de \(0\) a \(1 - z\).

\[\D{fz}{f_Z(z)} = \int_0^{1-z} 24\,\D{w}{w}\,(1-z-\D{w}{w})\,d\D{w}{w}\]

Para simplificar las cuentas escribimos \(\D{a}{a} = 1 - z\):

\[\int_0^{a} 24\,w\,(a-w)\,dw = 24\Bigl[\frac{a\,w^2}{2} - \frac{w^3}{3}\Bigr]_0^{a} = 24\Bigl(\frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3}\Bigr) = 24\cdot\frac{a^3}{6} = 4a^3\]

Volviendo a \(a = 1 - z\):

\[\D{fz}{f_Z(z)} = 4(1-z)^3, \qquad 0 \lt z \lt 1\]

Comprobación. \(\int_0^1 4(1-z)^3\,dz = \bigl[-(1-z)^4\bigr]_0^1 = 1\), así que es una densidad: la \(\D{beta}{\text{Beta}(1,4)}\).

Paso 4 · La respuesta

La probabilidad

Ya tenemos la densidad de \(Z\). Solo falta integrarla de \(0\) a \(\tfrac15\).

\[\D{P}{P}\bigl(\D{Z}{Z} \lt \tfrac15\bigr) = \int_0^{1/5} \D{fz}{4(1-z)^3}\,dz\]

Una primitiva de \(4(1-z)^3\) es \(-(1-z)^4\):

\[= \Bigl[-(1-z)^4\Bigr]_0^{1/5} = -\Bigl(\frac45\Bigr)^4 + 1 = 1 - \frac{256}{625}\]
\[\D{P}{P}\bigl(\D{Z}{Z} \lt \tfrac15\bigr) = \frac{369}{625} \approx 0.5904\]

Resumen

  1. Densidad conjunta: \(\D{fuv}{f(u,v)} = 24\,u\,(1-v)\) en \(0 \lt u \lt v \lt 1\).
  2. Cambio \(\D{w}{w} = u,\ \D{Z}{z} = v - u\), con \(\D{J}{|J|} = 1\): \(\D{fwz}{f_{W,Z}(w,z)} = 24\,w\,(1-w-z)\).
  3. Marginal: \(\D{fz}{f_Z(z)} = 4(1-z)^3\), una \(\D{beta}{\text{Beta}(1,4)}\).
  4. \(\D{P}{P}(Z \lt \tfrac15) = 1 - (\tfrac45)^4 = \tfrac{369}{625} \approx 0.5904\).

Observación. El mínimo \(\D{x1}{X_{(1)}}\) de cuatro uniformes da el mismo número: \(P(X_{(1)} \lt \tfrac15) = 1 - (\tfrac45)^4\). En una muestra uniforme, cada hueco entre valores ordenados consecutivos tiene la misma distribución \(\text{Beta}(1,n)\) que el mínimo.

Ejercicio 2

Sea \(\D{Xi}{X_1, X_2, \dots, X_{10}}\) una muestra aleatoria de una distribución \(\D{unif}{\text{Uniforme}[0,\theta]}\), con \(\D{theta}{\theta} \gt 0\). Encuentre la distribución condicional de \(\D{xmax}{X_{(10)}}\) dado \(\D{xmin}{X_{(1)}}\).

Qué se pide. Si ya sabemos cuál es el mínimo de la muestra, ¿cómo se distribuye el máximo? La respuesta es una densidad en \(v\) que depende del valor \(u\) del mínimo.

Idea. Una densidad condicional es la densidad conjunta dividida entre la densidad de lo que ya sabemos:

  1. Densidad conjunta de \(X_{(1)}\) y \(X_{(10)}\).
  2. Densidad de \(X_{(1)}\) sola.
  3. Dividir la primera entre la segunda.

Antes de empezar

Dos herramientas

Recordatorio · Uniforme en \([0,\theta]\)

Todos los valores entre \(0\) y \(\theta\) son igual de probables. Por eso la densidad es constante:

\[\D{f}{f(x)} = \frac{1}{\theta}, \qquad \D{F}{F(x)} = \frac{x}{\theta}, \qquad 0 \le x \le \theta\]

Recordatorio · Densidad condicional

Si \((U, V)\) tiene densidad conjunta \(f_{U,V}\), la densidad de \(V\) cuando ya sabemos que \(U = u\) es

\[\D{cond}{f_{V \mid U}(v \mid u)} = \frac{\D{fuv}{f_{U,V}(u,v)}}{\D{fu}{f_U(u)}}, \qquad \text{siempre que } f_U(u) \gt 0\]

Aquí \(U = X_{(1)}\) (el mínimo, que conocemos) y \(V = X_{(10)}\) (el máximo, que queremos describir).

Paso 1 · Densidad conjunta

Densidad conjunta de \(X_{(1)}\) y \(X_{(10)}\)

Teorema 3

La p.d.f. conjunta de \(X_{(i)}\) y \(X_{(j)}\), con \(i \lt j\), es

\[\begin{aligned}\D{fuv}{f_{X_{(i)},X_{(j)}}(u,v)} &= \D{coef}{\frac{n!}{(i-1)!\,(j-i-1)!\,(n-j)!}}\,\D{f}{f(u)}\,\D{f}{f(v)} \\ &\quad\cdot\ \D{below}{[F(u)]^{i-1}}\,\D{between}{[F(v)-F(u)]^{j-i-1}}\,\D{above}{[1-F(v)]^{n-j}}\end{aligned}\]

para \(u \lt v\).

Usamos \(i = 1\) (el mínimo), \(j = 10\) (el máximo) y \(n = 10\). Los exponentes quedan \(i - 1 = 0\), \(j - i - 1 = 8\), \(n - j = 0\):

\[\D{coef}{\frac{10!}{0!\,8!\,0!}} = 10 \cdot 9 = 90, \qquad \D{fuv}{f(u,v)} = 90 \cdot \frac1\theta \cdot \frac1\theta \cdot \Bigl(\frac{v}{\theta} - \frac{u}{\theta}\Bigr)^{8}\]
\[\D{fuv}{f_{X_{(1)},X_{(10)}}(u,v)} = \frac{90\,(v-u)^8}{\theta^{10}}, \qquad 0 \lt u \lt v \lt \theta\]

Paso 2 · Densidad del mínimo

Densidad de \(X_{(1)}\)

Teorema · Densidad del \(k\)-ésimo estadístico de orden

\[\D{fk}{f_{X_{(k)}}(x)} = \D{coefk}{\frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}}\,\D{f}{f(x)}\,\D{below}{[F(x)]^{k-1}}\,\D{above}{[1-F(x)]^{n-k}}\]

Se lee igual que el Teorema 3: \(k-1\) observaciones debajo de \(x\), una en \(x\), y \(n-k\) encima.

Con \(k = 1\) y \(n = 10\): ninguna observación debajo del mínimo y \(9\) encima.

\[\D{fu}{f_{X_{(1)}}(u)} = \frac{10!}{0!\,9!} \cdot \frac1\theta \cdot \Bigl(1 - \frac u\theta\Bigr)^{9} = 10 \cdot \frac{1}{\theta} \cdot \frac{(\theta - u)^9}{\theta^9}\]
\[\D{fu}{f_{X_{(1)}}(u)} = \frac{10\,(\theta-u)^9}{\theta^{10}}, \qquad 0 \lt u \lt \theta\]

Paso 3 · Dividir

La densidad condicional

Dividimos la conjunta entre la densidad del mínimo. El factor \(\theta^{10}\) se cancela:

\[\D{cond}{f(v \mid u)} = \frac{\D{fuv}{90\,(v-u)^8 / \theta^{10}}}{\D{fu}{10\,(\theta-u)^9 / \theta^{10}}} = \frac{90}{10}\cdot\frac{(v-u)^8}{(\theta-u)^9}\]
\[\D{cond}{f_{X_{(10)} \mid X_{(1)}}(v \mid u)} = \frac{9\,(v-u)^8}{(\theta-u)^9}, \qquad u \lt v \lt \theta\]

Comprobación. Integra 1 en \(v\):

\[\int_u^\theta \frac{9\,(v-u)^8}{(\theta-u)^9}\,dv = \frac{(v-u)^9}{(\theta-u)^9}\Bigg|_{v=u}^{v=\theta} = 1\]

La misma cuenta da la función de distribución condicional: \(P\bigl(X_{(10)} \le v \mid X_{(1)} = u\bigr) = \Bigl(\dfrac{v-u}{\theta-u}\Bigr)^{9}\).

Para entenderlo

¿Por qué sale algo tan simple?

Si sabemos que el mínimo es \(u\), las otras \(9\) observaciones están en \((u, \theta)\) y siguen siendo uniformes ahí.

El máximo de la muestra es el máximo de esas \(9\). Para que sea \(\le v\), las \(9\) deben caer en \((u, v)\), y cada una lo hace con probabilidad \(\frac{v-u}{\theta-u}\):

\[P\bigl(X_{(10)} \le v \mid X_{(1)} = u\bigr) = \Bigl(\frac{v-u}{\theta-u}\Bigr)^{9}\]

Derivando respecto a \(v\) sale exactamente la densidad que encontramos. Las dos rutas coinciden.

\[\text{Respuesta:}\quad f(v \mid u) = \frac{9\,(v-u)^8}{(\theta-u)^9}, \qquad u \lt v \lt \theta\]

Ejercicio 3

La duración en años de cierto componente es una variable aleatoria con p.d.f. \(\D{f}{f(t) = \tfrac25 e^{-\frac25 t}}\), \(t \gt 0\). Un sistema tiene \(3\) de estos componentes, que funcionan de manera independiente. Usando el estadístico de orden adecuado, calcule la probabilidad de que el sistema dure más de \(2\) años si los componentes están

  1. en serie;
  2. en paralelo.

Idea. Primero hay que decidir qué estadístico de orden es la duración del sistema en cada caso. Después calculamos una probabilidad con él.

Antes de empezar

Una sola componente

Llamamos \(\D{T}{T_1, T_2, T_3}\) a las duraciones. Cada una tiene la densidad \(f(t) = \tfrac25 e^{-2t/5}\): es una exponencial.

Su función de distribución se obtiene integrando la densidad desde \(0\):

\[\D{F}{F(t)} = \int_0^t \tfrac25 e^{-2s/5}\,ds = \Bigl[-e^{-2s/5}\Bigr]_0^t = 1 - e^{-2t/5}\]

La probabilidad de que una componente dure más de \(t\) años es lo que le falta a \(F\) para llegar a 1:

\[\D{S}{P(T_i \gt t)} = 1 - F(t) = e^{-2t/5}, \qquad P(T_i \gt 2) = e^{-4/5} \approx 0.4493\]

El paso clave

¿Qué estadístico de orden es la duración del sistema?

En serie

El sistema funciona solo si todas las componentes funcionan. Falla en cuanto falla la primera.

\[\text{duración} = \D{xmin}{T_{(1)}} = \min(T_1, T_2, T_3)\]

En paralelo

El sistema funciona mientras al menos una componente funcione. Falla cuando falla la última.

\[\text{duración} = \D{xmax}{T_{(3)}} = \max(T_1, T_2, T_3)\]

Ahora usamos la densidad del \(k\)-ésimo estadístico de orden con \(n = 3\): \(k = 1\) para serie y \(k = 3\) para paralelo.

Caso 1 · En serie

Densidad del mínimo \(T_{(1)}\)

Teorema · Densidad del \(k\)-ésimo estadístico de orden

\[\D{fk}{f_{X_{(k)}}(x)} = \D{coefk}{\frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}}\,\D{f}{f(x)}\,\D{below}{[F(x)]^{k-1}}\,\D{above}{[1-F(x)]^{n-k}}\]

Con \(k = 1\), \(n = 3\): el coeficiente es \(\frac{3!}{0!\,2!} = 3\).

\[\D{fk}{f_{T_{(1)}}(t)} = 3 \cdot \tfrac25 e^{-2t/5} \cdot \bigl(e^{-2t/5}\bigr)^2 = \tfrac65\, e^{-6t/5}, \qquad t \gt 0\]
\[\D{P}{P}\bigl(T_{(1)} \gt 2\bigr) = \int_2^\infty \tfrac65 e^{-6t/5}\,dt = \Bigl[-e^{-6t/5}\Bigr]_2^\infty = e^{-12/5}\]
\[\D{P}{P}(\text{sistema en serie dure más de 2 años}) = e^{-12/5} \approx 0.0907\]

Tiene sentido: es \(P(\text{las tres duran} \gt 2) = (e^{-4/5})^3\).

Caso 2 · En paralelo

Densidad del máximo \(T_{(3)}\)

Con \(k = 3\), \(n = 3\): el coeficiente es \(\frac{3!}{2!\,0!} = 3\), dos componentes fallan antes y ninguna después.

\[\D{fk}{f_{T_{(3)}}(t)} = 3\,\D{f}{f(t)}\,\D{below}{[F(t)]^{2}} = 3 \cdot \tfrac25 e^{-2t/5}\,\bigl(1 - e^{-2t/5}\bigr)^2, \qquad t \gt 0\]

Es más fácil calcular lo contrario, que dure como mucho \(2\) años. Como \(3F(t)^2 f(t)\) es la derivada de \(F(t)^3\):

\[P\bigl(T_{(3)} \le 2\bigr) = \int_0^2 3\,F(t)^2 f(t)\,dt = \Bigl[F(t)^3\Bigr]_0^2 = \bigl(1 - e^{-4/5}\bigr)^3 \approx 0.1670\]
\[\D{P}{P}(\text{sistema en paralelo dure más de 2 años}) = 1 - \bigl(1 - e^{-4/5}\bigr)^3 \approx 0.8330\]

Tiene sentido: el sistema solo falla antes de 2 años si fallan las tres, y eso tiene probabilidad \((1 - e^{-4/5})^3\).

Resumen

  1. Cada componente: \(F(t) = 1 - e^{-2t/5}\) y \(P(T_i \gt 2) = e^{-4/5} \approx 0.4493\).
  2. En serie la duración es el mínimo \(T_{(1)}\); en paralelo es el máximo \(T_{(3)}\).
  3. En serie: \(P(T_{(1)} \gt 2) = e^{-12/5} \approx 0.0907\).
  4. En paralelo: \(P(T_{(3)} \gt 2) = 1 - (1 - e^{-4/5})^3 \approx 0.8330\).

Poner componentes en paralelo hace el sistema mucho más duradero; ponerlos en serie lo hace más frágil que una sola componente.

Ejercicio 4

Sea \(\D{Xi}{X_1, X_2, \dots, X_n}\), con \(n \gt 10\), una muestra aleatoria de una distribución \(\D{N01}{n(0,1)}\). Calcule \(\D{P}{P}\bigl(\D{xk}{X_{(5)}} \lt 2.5\bigr)\).

Idea. No hace falta integrar ninguna densidad. Basta con contar:

\[X_{(5)} \lt 2.5 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{al menos } 5 \text{ observaciones son menores que } 2.5\]

¿Por qué? El quinto valor más pequeño está por debajo de \(2.5\) exactamente cuando los cinco más pequeños lo están.

Antes de empezar

Contar éxitos: la binomial

Recordatorio · Distribución binomial

Si hacemos \(n\) ensayos independientes y cada uno es un "éxito" con probabilidad \(p\), el número de éxitos \(N\) cumple

\[P(N = m) = \D{binom}{\binom{n}{m}}\,p^m\,(1-p)^{n-m}, \qquad m = 0, 1, \dots, n\]

Teorema · Distribución del \(k\)-ésimo estadístico de orden

Tomando como "éxito" que una observación sea \(\le x\), con probabilidad \(F(x)\):

\[\D{Fk}{P\bigl(X_{(k)} \le x\bigr)} = \sum_{m=k}^{n} \D{binom}{\binom{n}{m}}\,\D{F}{F(x)}^{m}\,\bigl[1 - F(x)\bigr]^{n-m}\]

Para la normal, \(P(X_{(5)} \lt 2.5)\) y \(P(X_{(5)} \le 2.5)\) son iguales: un punto no tiene probabilidad.

El cálculo

Probabilidad de un éxito y la suma

Para una sola observación normal estándar, la tabla da

\[\D{p}{p} = P(X_i \lt 2.5) = \D{Phi}{\Phi(2.5)} \approx 0.9938, \qquad 1 - p \approx 0.0062\]

Con \(k = 5\) en el teorema:

\[\D{P}{P}\bigl(X_{(5)} \lt 2.5\bigr) = \sum_{m=5}^{n} \D{binom}{\binom{n}{m}}\,(0.9938)^{m}\,(0.0062)^{n-m}\]

Es más cómodo restar de 1 los casos con menos de 5 éxitos (solo 5 términos):

\[\D{P}{P}\bigl(X_{(5)} \lt 2.5\bigr) = 1 - \sum_{m=0}^{4} \D{binom}{\binom{n}{m}}\,\Phi(2.5)^{m}\,\bigl[1 - \Phi(2.5)\bigr]^{n-m}\]

Para entenderlo

¿Cuánto da en la práctica?

El resultado depende de \(n\), pero para cualquier \(n \gt 10\) es casi exactamente \(1\).

Para que \(X_{(5)} \ge 2.5\), al menos \(n - 4\) observaciones tendrían que pasar de \(2.5\). Con \(n = 11\) eso son \(7\) observaciones, y cada una lo hace solo con probabilidad \(0.0062\).

\[n = 11:\qquad \sum_{m=0}^{4} \binom{11}{m}\,(0.9938)^{m}\,(0.0062)^{11-m} \approx 1.1 \times 10^{-13}\]
\[\D{P}{P}\bigl(X_{(5)} \lt 2.5\bigr) \approx 1 \quad \text{para todo } n \gt 10\]

Y al crecer \(n\) la resta es todavía más pequeña, porque hacen falta aún más observaciones por encima de \(2.5\).

Ejercicio 5

Sea \(\D{Xi}{X_1, X_2, \dots, X_9}\) una muestra aleatoria de una distribución \(\text{Uniforme}[0,1]\). Si \(\D{me}{M_e}\) es la mediana de la muestra, calcule \(\D{P}{P}(\D{me}{M_e} \lt 0.45)\).

¿Qué es la mediana? Es el valor del medio cuando ordenamos la muestra. Con \(9\) observaciones, el del medio es el quinto: hay \(4\) por debajo y \(4\) por encima.

\[\D{me}{M_e} = \D{xk}{X_{(5)}}\]

Lo resolvemos de dos formas: integrando la densidad de \(X_{(5)}\), y contando como en el ejercicio 4. Deben dar lo mismo.

Forma 1 · Con la densidad

Densidad de \(X_{(5)}\)

Teorema · Densidad del \(k\)-ésimo estadístico de orden

\[\D{fk}{f_{X_{(k)}}(x)} = \D{coefk}{\frac{n!}{(k-1)!\,(n-k)!}}\,\D{f}{f(x)}\,\D{below}{[F(x)]^{k-1}}\,\D{above}{[1-F(x)]^{n-k}}\]

Con \(k = 5\), \(n = 9\), \(f(x) = 1\) y \(F(x) = x\):

\[\D{coefk}{\frac{9!}{4!\,4!}} = 630, \qquad \D{fk}{f_{M_e}(x)} = 630\,x^4\,(1-x)^4, \qquad 0 \lt x \lt 1\]

Desarrollamos \((1-x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4\) e integramos término a término:

\[P(M_e \lt 0.45) = 630\int_0^{0.45} \bigl(x^4 - 4x^5 + 6x^6 - 4x^7 + x^8\bigr)\,dx = 630\Bigl[\tfrac{x^5}{5} - \tfrac{2x^6}{3} + \tfrac{6x^7}{7} - \tfrac{x^8}{2} + \tfrac{x^9}{9}\Bigr]_0^{0.45}\]
\[\D{P}{P}(M_e \lt 0.45) \approx 0.3786\]

Forma 2 · Contando

Al menos 5 de 9 por debajo de 0.45

\(M_e \lt 0.45\) ocurre cuando al menos \(5\) de las \(9\) observaciones son menores que \(0.45\). Cada una lo es con probabilidad \(\D{p}{p} = F(0.45) = 0.45\).

\[\D{P}{P}(M_e \lt 0.45) = \sum_{m=5}^{9} \D{binom}{\binom{9}{m}}\,(0.45)^m\,(0.55)^{9-m}\]
\[= \underbrace{0.2128}_{m=5} + \underbrace{0.1160}_{m=6} + \underbrace{0.0407}_{m=7} + \underbrace{0.0083}_{m=8} + \underbrace{0.0008}_{m=9}\]
\[\D{P}{P}(M_e \lt 0.45) \approx 0.3786\]

Las dos formas coinciden. Es menor que \(\tfrac12\) porque \(0.45\) está un poco por debajo de \(0.5\), la mediana de la uniforme.

Ejercicio 6

Sea \(\D{Xi}{X_1, X_2, \dots, X_n}\) una muestra aleatoria de una población con densidad \(\D{f}{f(x \mid \theta) = e^{-(x-\theta)}}\), \(x \gt \D{theta}{\theta}\). Calcule \(\D{P}{P}\bigl(\D{xmin}{X_{(1)}} \lt \tfrac43\theta\bigr)\).

La distribución. Es una exponencial "corrida" a la derecha: empieza en \(\theta\) en lugar de en \(0\). Ninguna observación puede ser menor que \(\theta\).

Idea. Para el mínimo hay un truco: el mínimo es mayor que \(x\) exactamente cuando todas las observaciones son mayores que \(x\).

Paso 1 · Una observación

Probabilidad de que una observación pase de \(x\)

Integramos la densidad desde donde empieza, \(\theta\):

\[\D{F}{F(x)} = \int_\theta^x e^{-(t-\theta)}\,dt = \Bigl[-e^{-(t-\theta)}\Bigr]_\theta^x = 1 - e^{-(x-\theta)}, \qquad x \gt \theta\]
\[\D{S}{P(X_i \gt x)} = 1 - F(x) = e^{-(x-\theta)}\]

Paso 2 · El mínimo

Distribución del mínimo

Teorema · Distribución del mínimo

\[P\bigl(\D{xmin}{X_{(1)}} \gt x\bigr) = P(X_1 \gt x, \dots, X_n \gt x) = \bigl[1 - F(x)\bigr]^n\]

La segunda igualdad usa que las observaciones son independientes: la probabilidad de que todas pasen de \(x\) es el producto.

\[P\bigl(X_{(1)} \gt x\bigr) = \bigl[e^{-(x-\theta)}\bigr]^n = e^{-n(x-\theta)}, \qquad x \gt \theta\]

Paso 3 · Evaluar en \(\tfrac43\theta\)

La respuesta

Con \(x = \tfrac43\theta\) tenemos \(x - \theta = \tfrac13\theta\). Restamos de 1 para pasar de "\(\gt\)" a "\(\lt\)":

\[P\bigl(X_{(1)} \lt \tfrac43\theta\bigr) = 1 - P\bigl(X_{(1)} \gt \tfrac43\theta\bigr) = 1 - e^{-n\theta/3}\]
\[\D{P}{P}\bigl(X_{(1)} \lt \tfrac43\theta\bigr) = 1 - e^{-n\theta/3}, \qquad \theta \gt 0\]

Ojo con el signo de \(\theta\). La fórmula necesita \(\tfrac43\theta \gt \theta\), es decir \(\theta \gt 0\). Si \(\theta \le 0\), entonces \(\tfrac43\theta \le \theta\) y la probabilidad es \(0\), porque ninguna observación es menor que \(\theta\).

Al crecer \(n\) la probabilidad tiende a \(1\): con más datos, el mínimo queda cada vez más pegado a \(\theta\).

Ejercicio 7

Sea \(\D{Xi}{X_1, \dots, X_n}\) una muestra aleatoria de una \(\text{exp}(\D{theta}{\theta})\), con \(\D{n}{n} = 2k + 1\). Sea \(\D{me}{M_e}\) la mediana de la muestra.

  1. Halle la p.d.f. de \(M_e\).
  2. Encuentre una expresión para \(P\bigl(M_e \lt \tfrac{3}{2\theta}\bigr)\).
  3. Si \(k = 2\), calcule de manera exacta la probabilidad del literal b).

La exponencial. Usamos \(f(x) = \theta e^{-\theta x}\) para \(x \gt 0\), con media \(1/\theta\). Así \(\tfrac{3}{2\theta}\) es \(1.5\) veces la media.

\[\D{f}{f(x) = \theta e^{-\theta x}}, \qquad \D{F}{F(x) = 1 - e^{-\theta x}}, \qquad \D{S}{1 - F(x) = e^{-\theta x}}\]

Literal a)

La densidad de la mediana

Con \(n = 2k + 1\) observaciones, la del medio es la \((k+1)\)-ésima: quedan \(k\) debajo y \(k\) encima. Entonces \(M_e = X_{(k+1)}\).

Teorema · Densidad del \(k\)-ésimo estadístico de orden

\[\D{fk}{f_{X_{(r)}}(x)} = \D{coefk}{\frac{n!}{(r-1)!\,(n-r)!}}\,\D{f}{f(x)}\,\D{below}{[F(x)]^{r-1}}\,\D{above}{[1-F(x)]^{n-r}}\]

(Escribimos la posición como \(r\) para no confundirla con el \(k\) del enunciado.)

Con \(r = k + 1\) y \(n = 2k + 1\): \(r - 1 = k\) y \(n - r = k\).

\[\D{fk}{f_{M_e}(x)} = \frac{(2k+1)!}{k!\,k!}\;\theta e^{-\theta x}\,\bigl(1 - e^{-\theta x}\bigr)^{k}\,\bigl(e^{-\theta x}\bigr)^{k}, \qquad x \gt 0\]

Literal b)

Una expresión para \(P\bigl(M_e \lt \tfrac{3}{2\theta}\bigr)\)

Integramos la densidad de \(0\) a \(\tfrac{3}{2\theta}\) con el cambio \(y = 1 - e^{-\theta x}\), que convierte \(F(x)\) en la nueva variable.

\[y = 1 - e^{-\theta x}, \qquad dy = \theta e^{-\theta x}\,dx, \qquad e^{-\theta x} = 1 - y\]

Los límites: \(x = 0 \Rightarrow y = 0\), y \(x = \tfrac{3}{2\theta} \Rightarrow y = 1 - e^{-3/2}\). Llamamos \(\D{p}{p} = 1 - e^{-3/2} \approx 0.7769\).

\[\D{P}{P}\bigl(M_e \lt \tfrac{3}{2\theta}\bigr) = \frac{(2k+1)!}{k!\,k!}\int_0^{p} y^{k}(1-y)^{k}\,dy, \qquad p = 1 - e^{-3/2}\]

Otra forma, contando: al menos \(k+1\) de las \(2k+1\) observaciones deben ser menores que \(\tfrac{3}{2\theta}\), y cada una lo es con probabilidad \(p\):

\[\D{P}{P}\bigl(M_e \lt \tfrac{3}{2\theta}\bigr) = \sum_{m=k+1}^{2k+1} \D{binom}{\binom{2k+1}{m}}\,p^m\,(1-p)^{2k+1-m}\]

Literal c)

El caso \(k = 2\) (muestra de 5)

El coeficiente es \(\frac{5!}{2!\,2!} = 30\). Desarrollamos \(y^2(1-y)^2 = y^2 - 2y^3 + y^4\):

\[30\int_0^{p} \bigl(y^2 - 2y^3 + y^4\bigr)\,dy = 30\Bigl(\frac{p^3}{3} - \frac{p^4}{2} + \frac{p^5}{5}\Bigr) = 10p^3 - 15p^4 + 6p^5\]

Con \(p = 1 - e^{-3/2} \approx 0.7769\):

\[\D{P}{P}\bigl(M_e \lt \tfrac{3}{2\theta}\bigr) = 10p^3 - 15p^4 + 6p^5 \approx 0.9228\]

La suma binomial da lo mismo: \(\binom53 p^3(1-p)^2 + \binom54 p^4(1-p) + p^5 \approx 0.9228\). El resultado no depende de \(\theta\).

Ejercicio 8

Sean \(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)}\) los estadísticos de orden de una muestra aleatoria de tamaño \(n = 3\) de una variable con densidad \(\D{f}{f(x) = 1}\), \(0 \lt x \lt 1\). Sea \(\D{Z}{Z = \frac{X_{(1)} + X_{(3)}}{2}}\). Halle la p.d.f. de \(Z\).

Qué es \(Z\). El punto medio entre el mínimo y el máximo de la muestra.

Idea. Es el mismo camino del ejercicio 1:

  1. Densidad conjunta de \(X_{(1)}\) y \(X_{(3)}\) (Teorema 3).
  2. Cambio de variable para que aparezca \(Z\).
  3. Encontrar la nueva región.
  4. Integrar la otra variable.

Paso 1 · Densidad conjunta

Densidad conjunta de \(X_{(1)}\) y \(X_{(3)}\)

Teorema 3

\[\begin{aligned}\D{fuv}{f_{X_{(i)},X_{(j)}}(u,v)} &= \D{coef}{\frac{n!}{(i-1)!\,(j-i-1)!\,(n-j)!}}\,\D{f}{f(u)}\,\D{f}{f(v)} \\ &\quad\cdot\ \D{below}{[F(u)]^{i-1}}\,\D{between}{[F(v)-F(u)]^{j-i-1}}\,\D{above}{[1-F(v)]^{n-j}}\end{aligned}\]

Con \(i = 1\), \(j = 3\), \(n = 3\), \(f = 1\) y \(F(x) = x\). Hay una observación entre el mínimo y el máximo:

\[\D{coef}{\frac{3!}{0!\,1!\,0!}} = 6, \qquad \D{fuv}{f(u,v)} = 6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \D{between}{(v - u)^{1}}\]
\[\D{fuv}{f_{X_{(1)},X_{(3)}}(u,v)} = 6\,(v - u), \qquad 0 \lt u \lt v \lt 1\]

Paso 2 · Hacer aparecer Z

Cambio de variable

Teorema (cambio de variable)

Si \((W,Z) = g(U,V)\) con \(g\) biyectiva y la inversa \(u = h_1(w,z)\), \(v = h_2(w,z)\) tiene derivadas continuas, entonces

\[f_{W,Z}(w,z) = f_{U,V}\bigl(h_1(w,z),\,h_2(w,z)\bigr)\,\D{J}{|J|}\]

Usamos \(Z\) (el punto medio) y \(R = V - U\) (el rango). Despejamos:

\[\D{Z}{Z} = \frac{U + V}{2}, \quad \D{R}{R} = V - U \qquad\Longrightarrow\qquad u = z - \frac r2, \quad v = z + \frac r2\]
\[\D{J}{J} = \det\begin{pmatrix} \partial u/\partial z & \partial u/\partial r \\ \partial v/\partial z & \partial v/\partial r \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 \\ 1 & \tfrac12 \end{pmatrix} = \tfrac12 + \tfrac12 = 1\]
\[f_{Z,R}(z,r) = 6\,(v - u) \cdot 1 = 6r\]

Paso 3 · La nueva región

¿Dónde vive \((Z, R)\)?

La condición \(0 \lt u \lt v \lt 1\) son tres desigualdades. En cada una sustituimos \(u = z - \frac r2\) y \(v = z + \frac r2\):

\[0 \lt u \quad\Longrightarrow\quad 0 \lt z - \tfrac r2 \quad\Longrightarrow\quad r \lt 2z\]
\[u \lt v \quad\Longrightarrow\quad z - \tfrac r2 \lt z + \tfrac r2 \quad\Longrightarrow\quad r \gt 0\]
\[v \lt 1 \quad\Longrightarrow\quad z + \tfrac r2 \lt 1 \quad\Longrightarrow\quad r \lt 2(1 - z)\]

Las dos cotas superiores se juntan en una: \(r\) tiene que ser menor que la más pequeña de las dos.

\[0 \lt r \lt 2\min(z,\ 1 - z), \qquad 0 \lt z \lt 1\]

Si \(z \le \tfrac12\), el mínimo es \(z\); si \(z \gt \tfrac12\), el mínimo es \(1 - z\).

Paso 4 · Eliminar r

La densidad de \(Z\)

Integramos \(6r\) en \(r\) sobre su rango. Como \(\int_0^{c} 6r\,dr = 3c^2\), hay dos casos:

\[0 \lt z \le \tfrac12:\qquad f_Z(z) = \int_0^{2z} 6r\,dr = 3(2z)^2 = 12z^2\]
\[\tfrac12 \lt z \lt 1:\qquad f_Z(z) = \int_0^{2(1-z)} 6r\,dr = 3\bigl(2(1-z)\bigr)^2 = 12(1-z)^2\]
\[\D{fz}{f_Z(z)} = \begin{cases} 12z^2, & 0 \lt z \le \tfrac12 \\[2pt] 12(1-z)^2, & \tfrac12 \lt z \lt 1 \\[2pt] 0, & \text{en otro caso} \end{cases}\]

Comprobación. \(\int_0^{1/2} 12z^2\,dz = 4\cdot\tfrac18 = \tfrac12\), y la otra mitad es simétrica: el total es \(1\). La densidad es simétrica alrededor de \(\tfrac12\) y tiene su pico ahí.